Terbukti bahwa jika vektor [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], [tex]\vec{c}[/tex], [tex]\vec{d}[/tex] terletak pada satu bidang maka:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\big(\vec{a}\times\vec{b}\big)\times\big(\vec{c}\times\vec{d}\big)=0\end{aligned}$}[/tex]
Pembahasan
Vektor-vektor Sebidang (Koplanar)
Diberikan pernyataan:
Jika vektor [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], [tex]\vec{c}[/tex], [tex]\vec{d}[/tex] terletak pada satu bidang maka:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\big(\vec{a}\times\vec{b}\big)\times\big(\vec{c}\times\vec{d}\big)=0\end{aligned}$}[/tex]
Pembuktian
Perkalian silang (cross product) antara dua vektor, yang dinyatakan dengan [tex]\vec{u}\times\vec{v}[/tex], didefinisikan dengan:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\vec{u}\times\vec{v}=\vec{e}\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\,,\ 0 \le \theta \le \pi\end{aligned}$}[/tex]
dengan:
- [tex]\vec{e}[/tex] : vektor satuan yang tegak lurus terhadap [tex]\vec{u}[/tex] dan [tex]\vec{v}[/tex]
- [tex]\theta[/tex] : besar sudut antara [tex]\vec{u}[/tex] dan [tex]\vec{v}[/tex]
Misalkan [tex]\vec{u}=\vec{a}\times\vec{b}[/tex] dan [tex]\vec{v}=\vec{c}\times\vec{d}[/tex].
Maka berlaku:
- [tex]\vec{u}\perp\vec{a}[/tex] dan [tex]\vec{u}\perp\vec{b}[/tex]
- [tex]\vec{v}\perp\vec{c}[/tex] dan [tex]\vec{v}\perp\vec{d}[/tex]
Karena kedua hal tersebut, dan [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], [tex]\vec{c}[/tex], [tex]\vec{d}[/tex] terletak pada satu bidang (sebidang/koplanar), maka [tex]\vec{u}\parallel\vec{v}[/tex] ([tex]\vec{u}[/tex] sejajar dengan [tex]\vec{v}[/tex]), sehingga besar sudut antara [tex]\vec{u}[/tex] dan [tex]\vec{v}[/tex] adalah [tex]\theta=0^{\circ}[/tex].
Oleh karena itu:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\big(\vec{a}\times\vec{b}\big)\times\big(\vec{c}\times\vec{d}\big)\\&{=\ }\vec{u}\times\vec{v}\\&{=\ }\vec{e}\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin0^{\circ}\\&{=\ }\vec{e}\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cdot0\\&{=\ }0\\&\blacksquare\quad\sf terbukti\end{aligned}$}[/tex]
[answer.2.content]
